# 第4章：価値評価手法の数学的等価性
## 1. 導入：なぜ等価性が重要か
### 1.1 評価手法の統一的理解
企業価値評価において、DCF法、EVA法、残余利益モデル（RIM）は、適切な前提条件の下で数学的に等価であることが証明されています。この等価性の理解は以下の理由で極めて重要です：
```{mermaid}
graph TB
subgraph "評価手法の等価性"
DCF["DCF法<br/>フリーキャッシュフロー<br/>の現在価値"]
EVA["EVA法<br/>経済的付加価値<br/>の現在価値"]
RIM["残余利益モデル<br/>超過利益<br/>の現在価値"]
DCF <--> EVA
EVA <--> RIM
RIM <--> DCF
end
subgraph "共通の基盤"
BASE["投下資本収益性<br/>資本コスト<br/>成長性"]
end
DCF --> BASE
EVA --> BASE
RIM --> BASE
```
### 1.2 等価性の前提条件
$$\text{完全な等価性が成立する条件：}$$
1. **クリーンサープラス条件（Clean Surplus Relation）**
$$BV_{t} = BV_{t-1} + NI_t - Div_t$$
ここで：
- $BV_t$：期末簿価
- $NI_t$：当期純利益
- $Div_t$：配当金
2. **一貫した会計処理**
- 資産評価基準の一貫性
- 減価償却方法の統一
- 投資の資本化基準の明確化
3. **完全市場の仮定**
- 取引コストなし
- 税金の影響を適切に考慮
- 情報の対称性
## 2. DCF法の数学的基礎
### 2.1 企業価値の基本式
$$EV = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{FCF_t}{(1+WACC)^t}$$
### 2.2 フリーキャッシュフローの分解
$$FCF_t = NOPAT_t - \Delta IC_t$$
ここで：
- $NOPAT_t$：税引後営業利益（Net Operating Profit After Tax）
- $\Delta IC_t$：投下資本の増加額
$$NOPAT_t = EBIT_t \times (1 - T)$$
投下資本の定義：
$$IC_t = \text{運転資本}_t + \text{固定資産（簿価）}_t$$
### 2.3 永続価値を含む完全な式
$$EV = \sum_{t=1}^{n} \frac{FCF_t}{(1+WACC)^t} + \frac{FCF_{n+1}/(WACC - g)}{(1+WACC)^n}$$
## 3. EVA法の理論構造
### 3.1 EVAの定義
$$EVA_t = NOPAT_t - IC_{t-1} \times WACC$$
これは以下のように解釈できます：
$$EVA_t = IC_{t-1} \times (ROIC_t - WACC)$$
ここで：
$$ROIC_t = \frac{NOPAT_t}{IC_{t-1}}$$
### 3.2 企業価値のEVA表現
$$EV = IC_0 + \sum_{t=1}^{\infty} \frac{EVA_t}{(1+WACC)^t}$$
これは「現在の投下資本 ＋ 将来の経済的付加価値の現在価値」を意味します。
### 3.3 MVA（市場付加価値）との関係
$$MVA = EV - IC_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{EVA_t}{(1+WACC)^t}$$
## 4. 残余利益モデル（RIM）
### 4.1 残余利益の定義
$$RI_t = NI_t - BV_{t-1} \times r_e$$
ここで：
- $RI_t$：残余利益
- $NI_t$：純利益
- $BV_{t-1}$：前期末簿価純資産
- $r_e$：株主資本コスト
### 4.2 株主価値の残余利益表現
$$E = BV_0 + \sum_{t=1}^{\infty} \frac{RI_t}{(1+r_e)^t}$$
### 4.3 企業価値への変換
$$EV = E + D = BV_0 + \sum_{t=1}^{\infty} \frac{RI_t}{(1+r_e)^t} + D$$
ここで$D$は純有利子負債の市場価値
## 5. 数学的等価性の証明
### 5.1 DCF法とEVA法の等価性
**定理1：** 適切な前提条件の下で、DCF法による企業価値とEVA法による企業価値は一致する。
**証明：**
EVA法の企業価値：
$$EV_{EVA} = IC_0 + \sum_{t=1}^{\infty} \frac{EVA_t}{(1+WACC)^t}$$
EVAの定義を展開：
$$EVA_t = NOPAT_t - IC_{t-1} \times WACC$$
これを代入：
$$EV_{EVA} = IC_0 + \sum_{t=1}^{\infty} \frac{NOPAT_t - IC_{t-1} \times WACC}{(1+WACC)^t}$$
さらに、$FCF_t = NOPAT_t - \Delta IC_t$の関係と、
$$\Delta IC_t = IC_t - IC_{t-1}$$
を用いて変形すると：
$$EV_{EVA} = IC_0 + \sum_{t=1}^{\infty} \frac{FCF_t + \Delta IC_t - IC_{t-1} \times WACC}{(1+WACC)^t}$$
数学的な変形を続けると（詳細は省略）：
$$EV_{EVA} = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{FCF_t}{(1+WACC)^t} = EV_{DCF}$$
**Q.E.D.**
### 5.2 具体的数値例による検証
以下の企業を考えます：
```{mermaid}
graph LR
subgraph "初期条件"
IC0["投下資本<br/>1,000百万円"]
WACC["WACC<br/>10%"]
ROIC["ROIC<br/>15%（一定）"]
G["成長率<br/>5%（永続）"]
end
subgraph "年次推移"
Y1["第1年"]
Y2["第2年"]
Y3["第3年"]
YN["永続期間"]
end
IC0 --> Y1
Y1 --> Y2
Y2 --> Y3
Y3 --> YN
```
**計算過程：**
**第1年：**
- $IC_0 = 1,000$百万円
- $NOPAT_1 = IC_0 \times ROIC = 1,000 \times 0.15 = 150$百万円
- $\Delta IC_1 = IC_0 \times g = 1,000 \times 0.05 = 50$百万円
- $FCF_1 = NOPAT_1 - \Delta IC_1 = 150 - 50 = 100$百万円
- $EVA_1 = NOPAT_1 - IC_0 \times WACC = 150 - 1,000 \times 0.10 = 50$百万円
**第2年：**
- $IC_1 = 1,050$百万円
- $NOPAT_2 = 1,050 \times 0.15 = 157.5$百万円
- $\Delta IC_2 = 1,050 \times 0.05 = 52.5$百万円
- $FCF_2 = 157.5 - 52.5 = 105$百万円
- $EVA_2 = 157.5 - 1,050 \times 0.10 = 52.5$百万円
**企業価値（DCF法）：**
$$EV_{DCF} = \frac{FCF_1}{WACC - g} = \frac{100}{0.10 - 0.05} = 2,000\text{百万円}$$
**企業価値（EVA法）：**
$$EV_{EVA} = IC_0 + \frac{EVA_1}{WACC - g} = 1,000 + \frac{50}{0.10 - 0.05} = 2,000\text{百万円}$$
## 6. 等価性の実務的含意
### 6.1 手法選択の基準
```{mermaid}
graph TB
subgraph "状況別の手法選択"
START["評価の目的"]
A["将来キャッシュフロー<br/>が明確"]
B["価値創造の源泉<br/>を分析したい"]
C["会計情報が<br/>信頼できる"]
DCF_USE["DCF法を使用"]
EVA_USE["EVA法を使用"]
RIM_USE["RIMを使用"]
START --> A
START --> B
START --> C
A --> DCF_USE
B --> EVA_USE
C --> RIM_USE
end
```
### 6.2 各手法の長所と短所
| 手法 | 長所 | 短所 | 適用場面 |
|------|------|------|----------|
| **DCF法** | • 直感的に理解しやすい<br/>• 市場で広く受け入れられている<br/>• キャッシュフローに焦点 | • 終価の算定が困難<br/>• 投下資本効率が見えにくい<br/>• 遠い将来の予測に依存 | • M&A評価<br/>• プロジェクト評価<br/>• 成熟企業の評価 |
| **EVA法** | • 価値創造を明確化<br/>• 業績管理と連動<br/>• 資本効率を重視 | • 会計調整が複雑<br/>• NOPATの算定に判断要素<br/>• 投下資本の定義が重要 | • 経営管理<br/>• 事業部門評価<br/>• インセンティブ設計 |
| **RIM** | • 会計情報を活用<br/>• 簿価がアンカー<br/>• 予測期間を短縮可能 | • 会計基準の影響大<br/>• クリーンサープラス前提<br/>• 配当政策の影響 | • 金融機関評価<br/>• 安定企業の評価<br/>• 会計情報が充実 |
## 7. 会計調整と実務上の課題
### 7.1 EVA計算における主要な会計調整
$$\text{調整後NOPAT} = \text{会計上の営業利益} + \text{調整項目}$$
**主要な調整項目：**
1. **研究開発費の資本化**
$$\text{調整額} = R\&D_t - \text{償却額}_t$$
2. **のれん償却の加算**
$$\text{調整額} = \text{のれん償却費}_t$$
3. **リース資産の調整**
$$\text{調整額} = \text{オペレーティングリース資産化}_t$$
### 7.2 投下資本の調整
$$\text{調整後IC} = \text{会計上の投下資本} + \text{調整項目}$$
**調整項目の例：**
- 資本化されたR&D
- オペレーティングリースの現在価値
- LIFO準備金
- 繰延税金資産・負債の調整
### 7.3 実務での調整例
**ケース：ソフトウェア企業の評価**
| 項目 | 会計上の数値 | 調整 | 調整後数値 |
|------|-------------|------|------------|
| 営業利益 | 500 | - | 500 |
| R&D費（費用処理） | (300) | +300 | 0 |
| R&D償却（5年） | 0 | -60 | (60) |
| 調整後NOPAT（税前） | 200 | +240 | 440 |
| 税金（30%） | (60) | (72) | (132) |
| **調整後NOPAT** | **140** | **+168** | **308** |
投下資本の調整：
| 項目 | 会計上の数値 | 調整 | 調整後数値 |
|------|-------------|------|------------|
| 運転資本 | 200 | - | 200 |
| 固定資産 | 800 | - | 800 |
| 資本化R&D | 0 | +1,200 | 1,200 |
| **調整後IC** | **1,000** | **+1,200** | **2,200** |
## 8. 感応度分析と等価性
### 8.1 パラメータ変化の影響
各手法は同じ経済的実態を異なる視点から捉えているため、パラメータ変化の影響も等価です：
$$\frac{\partial EV_{DCF}}{\partial WACC} = \frac{\partial EV_{EVA}}{\partial WACC} = \frac{\partial EV_{RIM}}{\partial WACC}$$
### 8.2 感応度分析の実例
**基本ケース：**
- 初期投下資本：1,000百万円
- ROIC：15%
- WACC：10%
- 成長率：5%
**企業価値の感応度（百万円）：**
| WACC＼成長率 | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% |
|--------------|-----|-----|-----|-----|-----|
| **8%** | 2,500 | 3,000 | 3,750 | 5,000 | 7,500 |
| **9%** | 2,000 | 2,333 | 2,778 | 3,500 | 4,667 |
| **10%** | 1,667 | 1,875 | 2,143 | 2,500 | 3,125 |
| **11%** | 1,429 | 1,563 | 1,750 | 2,000 | 2,375 |
| **12%** | 1,250 | 1,333 | 1,458 | 1,625 | 1,875 |
この感応度は、DCF法、EVA法、RIMのいずれでも同一の結果となります。
## 9. 特殊な状況での等価性
### 9.1 高成長企業の場合
高成長期と安定成長期を区別する二段階モデル：
**DCF法：**
$$EV = \sum_{t=1}^{T} \frac{FCF_t}{(1+WACC)^t} + \frac{FCF_{T+1}/(WACC - g_s)}{(1+WACC)^T}$$
**EVA法：**
$$EV = IC_0 + \sum_{t=1}^{T} \frac{EVA_t}{(1+WACC)^t} + \frac{EVA_{T+1}/(WACC - g_s)}{(1+WACC)^T}$$
ここで、$g_s$は安定成長率
### 9.2 ネガティブFCF企業
スタートアップなど、初期にネガティブFCFの企業でも等価性は保たれます：
```{mermaid}
graph LR
subgraph "ネガティブFCF期間"
Y1["Year 1<br/>FCF: -100<br/>EVA: +50"]
Y2["Year 2<br/>FCF: -50<br/>EVA: +75"]
Y3["Year 3<br/>FCF: 0<br/>EVA: +100"]
end
subgraph "ポジティブFCF期間"
Y4["Year 4<br/>FCF: +100<br/>EVA: +150"]
Y5["Year 5+<br/>FCF: +200<br/>EVA: +200"]
end
Y1 --> Y2
Y2 --> Y3
Y3 --> Y4
Y4 --> Y5
Note["注：高投資により<br/>FCFはネガティブでも<br/>EVAはポジティブ可能"]
```
### 9.3 循環的産業の評価
景気循環の影響を受ける企業の場合：
$$EV = \sum_{c=1}^{N} \sum_{t \in c} \frac{FCF_{c,t}}{(1+WACC)^{t_{total}}}$$
ここで、$c$は循環サイクル、$N$は評価対象サイクル数
## 10. 実務への応用ガイドライン
### 10.1 統合評価フレームワーク
```{mermaid}
graph TB
subgraph "統合評価プロセス"
INPUT["財務諸表<br/>事業計画"]
DCF_CALC["DCF法計算"]
EVA_CALC["EVA法計算"]
RIM_CALC["RIM計算"]
CHECK["等価性チェック"]
ADJUST["差異分析<br/>調整"]
FINAL["最終評価値"]
INPUT --> DCF_CALC
INPUT --> EVA_CALC
INPUT --> RIM_CALC
DCF_CALC --> CHECK
EVA_CALC --> CHECK
RIM_CALC --> CHECK
CHECK --> ADJUST
ADJUST --> FINAL
end
```
### 10.2 チェックリスト
**等価性確認のためのチェックリスト：**
- [ ] クリーンサープラス関係の確認
- [ ] 会計調整の一貫性
- [ ] 投下資本定義の統一
- [ ] 成長率前提の整合性
- [ ] 税率の一貫した適用
- [ ] 運転資本変動の整合性
- [ ] 減価償却と設備投資の関係
- [ ] 終価計算の整合性
### 10.3 実務上の推奨事項
1. **複数手法による検証**
- 最低2つの手法で評価を実施
- 差異が生じた場合は前提条件を再確認
2. **会計調整の文書化**
- すべての調整項目を明確に記録
- 調整の根拠を説明
3. **感応度分析の実施**
- 主要パラメータの変動影響を分析
- 複数シナリオでの評価
4. **定期的な検証**
- 実績との比較による手法の妥当性確認
- 必要に応じた調整方法の見直し
## まとめ
価値評価手法の数学的等価性は、企業価値の本質的な理解を深め、より信頼性の高い評価を可能にします。各手法は異なる視点から同じ経済的実態を捉えており、適切に適用すれば同じ結果に到達します。実務では、評価の目的、利用可能な情報、ステークホルダーの理解度に応じて最適な手法を選択し、可能な限り複数の手法で検証することが重要です。
等価性の理解は、単なる理論的な知識ではなく、実務において評価の信頼性を高め、より深い洞察を得るための強力なツールとなります。